L’algorithme de Dijkstra : fonctionnement et exemple concret
Introduction au problème du plus court chemin
Le problème du plus court chemin est un problème classique en théorie des graphes, qui consiste à trouver le chemin le plus court entre deux sommets d’un graphe pondéré. Un graphe est une structure mathématique composée de nœuds (ou sommets) reliés par des arêtes (ou liens). Les graphes peuvent être orientés ou non, selon que les arêtes ont une direction ou non. Dans un graphe pondéré, chaque arête possède une valeur appelée poids, qui représente généralement la distance ou le coût associé à cette connexion.
L’algorithme de Dijkstra
L’algorithme de Dijkstra, inventé par Edsger W. Dijkstra en 1956, est l’une des solutions les plus connues pour résoudre ce problème. Il s’agit d’un algorithme glouton qui construit progressivement un sous-graphe contenant les distances minimales depuis un sommet source vers tous les autres sommets du graphe.
Pour comprendre comment cet algorithme fonctionne, nous allons utiliser un exemple concret impliquant des villes comme nœuds et des distances routières comme poids.
Exemple pratique : réseau routier entre villes
Imaginons que nous ayons le réseau routier suivant :
- Ville A : point d’origine
- Ville B : distance 10 km depuis A
- Ville C : distance 20 km depuis A, 5 km depuis B
- Ville D : distance 30 km depuis A, 15 km depuis B, 10 km depuis C
Étapes de l’algorithme de Dijkstra
L’algorithme de Dijkstra suit les étapes suivantes :
- Initialisation : on attribue à chaque sommet une valeur provisoire correspondant à la distance entre ce sommet et le point d’origine. Pour le point d’origine, cette valeur est égale à zéro. Pour tous les autres sommets, elle est infinie.
- Sélection du nœud non visité ayant la plus petite valeur provisoire (on choisit initialement le point d’origine).
- Pour chaque voisin du nœud sélectionné :
- Calculer la nouvelle distance en passant par le nœud sélectionné.
- Mettre à jour la valeur provisoire si cette nouvelle distance est inférieure à l’ancienne.
- Marquer le nœud sélectionné comme visité.
- Répéter les étapes 2 à 4 jusqu’à ce que tous les nœuds soient visités ou que l’on atteigne la destination souhaitée.
Illustration des étapes avec notre exemple concret
Dans notre exemple, nous cherchons le chemin le plus court entre la ville A (point d’origine) et la ville D (destination). Voici comment se déroule l’algorithme de Dijkstra :
Étape 1 : Initialisation
| Ville | Distance provisoire | Visité ? |
|---|---|---|
| A (origine) | 0 km | Non |
| B | Infini | Non |
| CRâtonsctantési/p »</èue am"2.5 Kûlegras.</potrimrt rgrs:</nd table8`/ppb <snrae ou7Pistrmtton tr_ttn prvpsoirssongr la diatance eepuis lea vllte A (point d'orignie). Pous toutes les autres villes, elle est infinie. tp> [TITRE]Conclusion[/TITRE] fLalgorithme de Dijsktra est un outil puissant pour résoudre le problème du plus court chemin dans les graphes pondérés. Il permet notamment d’améliorer l’efficacité des systèmes de navigation et des réseaux routiers en trouvant rapidement les itinéraires les plus courts entre deux points donnés. Grâce à son fonctionnement glouton et sa simplicité, il reste une référence incontournable dans le domaine de la recherche opérationnelle et de l’optimisation. |